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量子力学算符代数计算

参见 Noncommutative Algebras in Sage.

例如要做满足 \([a, a^{\dagger}]=1, [b,b^{\dagger}]=1, [a,b]=0\) 的两个算符 \(a,b\) 的代数计算 

  F.<a, a_d, b, b_d> = FreeAlgebra(QQ)

  U_relations = {
      b_d * b: b * b_d - 1,
      a_d * a: a * a_d - 1,
  }

  U = F.g_algebra(U_relations)
  U._latex_names = ["a", r"a^\dagger", "b", r"b^\dagger"]
  U.inject_variables()

注意：

  1. 定义规则时，必须是后定义的字母乘在前面，例如定义时 F.<a,b,c> 规则中应该写作 c*b: ..., b*a: ... 等
  2. 变量的 latex 显示名顺序要和变量定义顺序相同
  3. 没有指定规则的乘法默认就是可对易的

安装为 jupyter 内核

jupyter kernelspec install ./SageMath/local/share/jupyter/kernels/sagemath

基本特性

  1. 直接输入数学运算公式可以作为计算器来用
  2. 继承自python的面向对象系统，即任何东西都是对象
  3. 在命令行模式下使用TAB补全，在notebook里似乎有bug
  4. 内置交互式帮助系统，在命令后加一个问号即可显示帮助 c.diameter?

符号运算

基础操作

x = var('x') 定义符号
f = 1 - sin(x)^2 定义一个函数
print(f) 普通打印函数
print(maxima(f)) 美化打印函数
f.simplify_trig() 化简表达式
f(x=pi/2) 计算函数值
ingtegrate(f, x) 不定积分
f.differentiate(2).substitude({x: 3/pi}) 计算二阶微分，并代替值
a = var('a') x是默认隐含符号，需要更多符号就要定义
S = solve(x^2 + x == a, x) 解代数方程
S[0].rhs() 显示代数方程解
show(plot(sin(x)+ sin(1.6*x)), 0, 40) 解析画图
F = factor(x^99 + y^99) 分解因式
F.expand() 乘开因式

代数

用对象表示代数结构，群环域

组合数学

数值运算

基础操作

3 + 5 加法
57.1 ^ 100 乘方
matrix([[1,2], [3,4]]) 创建矩阵，按行写
g = sin(x) + (1- x^2) 定义一个函数
find_root(g, 0, 2) 在区间[0, 2]寻根
var('x y z') 定义一些符号
f = (1+ (y+ x^2)^2 + (1+ z+ y^2)^2)^2 新定义一个函数
minimize(f, [1, 2, 3], disp=1, algorithm='powell') 计算最优化，指定算法和初值
m = random_matrix(RDF, 500) 创建复数500×500随机矩阵
e = m.eigenvalues() 计算矩阵的本征值
w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))] 循环方式创建list
show(points(w)) 成对点画图
factorial(100) 计算阶乘
N(pi, digits=100) 保留100位小数，四舍五入
z = Partitions(10^8).cardinality() 计算数的划分并给出基数

包括以下几种浮点数类型：

Python float, complex, decimal
SageMath specific RDF, CDF, RQDF, CC, RR, RIF, CIF
included Systems pari, maxima

绘图

可绘制的类型：

interact 动态交互图，可以显示一个滑块，滑动改变图
Regions Plot/ Contours 显示一个不等式区间
Density Plot 密度图，热力图
filled plot 可以上色显示两条线之间的区间
multiedge graph 可以显示一个有向图

这里 有各种动态图的例子

技巧和常用代码片段

与 tex 联合使用

sagetex：可以在tex中显示sage命令的运算结果

首先需要安装 sagetex

注意： 在网站下载的二进制包千万别手贱用 sage -i 自己再编译，由于包含文件不全，这样只会破坏已编译好的文件 

    kpsewhich -var-value=TEXMFHOME                  # 获得TEXMFHOME目录位置，一般是$HOME/texmf
    cp -R SAGE_ROOT/local/share/texmf/tex TEXMFHOME # 把sagetex复制到目录里
    texhash                                         # 让latex重新索引包

使用方法 

    \usepackage{sagetex}              % 引入包
    \usepackage[imagemagick]{sagetex} % 可选项
    \setlength{\sagetexindent}{10ex}  % 设置间隔
    $2+2=\sage{2+2}$                  % 行内计算sage表达式的数学结果
    \begin{sageblock}                 % 引用sage/python代码
      1+1
      var('a,b,c')
      eqn ~ [a+b*c==1, b-a*c==0, a+b=~5]
      s = solve(eqn, a,b,c)
    \end{sageblock} 
    \begin{sagesilent}      % 多行计算sage表达式
      e = 2
      e = 3*e + 1
    \end{sagesilent}
    $e=\sage{e}$            % 在同一文件内可以直接使用定义的变量
    \sageplot{E.plot(-3,3)} % sage画图
    \sagetexpause           % 在pause宏之间的sage表达式不被求值，便于修改
    \sagetexunpause

三角函数和指数之间转换

参考这个回答 

   def exponentialize(x):
       """从三角函数形式变换成e指数形式"""
       return sageobj(x._maxima_().expand().exponentialize())

   def demoivre(x):
       """从e指数形式变换成三角函数形式"""
       return sageobj(x._maxima_().expand().demoivre())

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